İçeriğe geç

ÖABT Matematik Vektör Uzayları rehberi: alt uzay, taban, boyut ve çekirdek

ÖABT Matematik vektör uzayları: alt uzay testi, lineer bağımsızlık, taban ve boyut, çekirdek ve görüntü, boyut (rank–sıfırlık) teoremi; çözümlü örneklerle.

Vektör uzayı sorularının neredeyse tamamı tek bir hesaba iner: vektörleri bir matrisin satırları ya da sütunları olarak yazıp rankını bulmak. Bağımsızlık, boyut ve çekirdek soruları bu rankın farklı okunuşlarıdır. Konu Cebir başlığı altında çalışılır; determinant ve özdeğer için Lineer Cebir rehberine bakabilirsin.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: vektör uzayları Cebir başlığı altında çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te de Cebir %24'tür (~12 soru).

1. Vektör uzayı ve alt uzay

  • Alt uzay testi: W ⊆ V boş değilse ve her u, w ∈ W, c skaleri için u + w ∈ W ve cu ∈ W ise W alt uzaydır. Kısa yol: sıfır vektörü W’de değilse alt uzay değildir.
  • Örnekler: ℝ³’te orijinden geçen doğru ve düzlemler alt uzaydır; x + y + z = 1 düzlemi değildir.
  • Germe (span): v₁, …, vₖ’nın tüm lineer bileşimleri; her zaman bir alt uzaydır.
v₁ = (2, 1)v₂ = (1, 2)v₁ + v₂ = (3, 3)
ℝ²'de lineer bağımsız iki vektör tüm düzlemi gerer; her vektör av₁ + bv₂ biçiminde tek türlü yazılır.

2. Lineer bağımsızlık, taban, boyut

  • Bağımsızlık: c₁v₁ + … + cₖvₖ = 0 yalnız c₁ = … = cₖ = 0 iken sağlanıyorsa vektörler bağımsızdır.
  • Kare matris kısa yolu: ℝⁿ’de n vektör bağımsızdır ⇔ onlardan kurulan matrisin determinantı 0 değildir.
  • Taban ve boyut: Bağımsız ve geren küme tabandır; eleman sayısı boyuttur. dim ℝⁿ = n, dim Pn (derecesi en çok n polinomlar) = n + 1, dim Mm×n = mn.

Örnek 1. v₁ = (1, 0, 2), v₂ = (0, 1, 1), v₃ = (1, k, 4) vektörlerinin lineer bağımlı olması için k kaç olmalıdır?

  1. −2
  2. 0
  3. 2
  4. 4
  5. 1
Çözümü göster
  1. DeterminantSatırlar v₁, v₂, v₃: det = 1·(1·4 − 1·k) − 0 + 2·(0·k − 1·1)
  2. Sadeleştirdet = 4 − k − 2 = 2 − k
  3. Bağımlılıkdet = 0 ⇒ k = 2. Kontrol: v₃ = v₁ + 2v₂ = (1, 2, 4)

Cevap: C. Tipik hatalar: kofaktörde işareti kaçırmak (A: k = −2), son terimi unutup 4 − k = 0 yazmak (D).

3. Çekirdek, görüntü ve boyut teoremi

  • Çekirdek: ker T = {v : T(v) = 0}; görüntü: Im T = {T(v)}. İkisi de alt uzaydır.
  • Boyut teoremi: T: V → W lineer ise dim V = dim ker T + dim Im T; dim Im T, matrisin rankıdır.
  • Birebir ve örten: T birebir ⇔ ker T = {0}; T örten ⇔ rank = dim W.

Örnek 2. T: ℝ⁴ → ℝ³, T(x, y, z, w) = (x + y, y + z, x − z) lineer dönüşümünün çekirdeğinin boyutu kaçtır?

  1. 1
  2. 3
  3. 0
  4. 4
  5. 2
Çözümü göster
  1. MatrisSatırlar (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, −1, 0)
  2. Rank3. satır = 1. satır − 2. satır ⇒ rank = 2
  3. Boyut teoremidim ker T = 4 − 2 = 2. Taban: (1, −1, 1, 0) ve (0, 0, 0, 1)

Cevap: E. Tipik hatalar: hedef uzayın boyutundan çıkarmak (A: 3 − 2) ya da w’nin serbest olduğunu unutmak (A), rankı 1 sanmak (B).

Sık hata Doğrusu
dim ker T = dim W − rank dim ker T = dim V − rank (tanım uzayı)
x + y + z = 1 düzlemi alt uzaydır Sıfır vektörünü içermez, alt uzay değildir
dim P₂ = 2 dim P₂ = 3 (taban 1, x, x²)

Çalışma önerisi

Her vektör uzayı sorusunda önce matrisi yaz ve satır indirgemeyle rankı bul; bağımsızlık, boyut ve çekirdek bu tek sayıdan okunur. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin. Uzayda doğru ve düzlem için Analitik Geometri rehberi işine yarar.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.

Ücretsiz deneSeti incele →