İçeriğe geç

ÖABT Matematik Mantık, Kümeler ve Bağıntılar rehberi: denklik, bağıntı ve fonksiyon

ÖABT Matematik soyut matematik: önermeler, karşıt ters, niceleyiciler, De Morgan, bağıntı özellikleri ve fonksiyon sayma; çözümlü örneklerle.

Soyut matematik soruları kısa görünür ama tek bir kavram karışıklığı (karşıt ile karşıt tersi, simetrik ile ters simetrik) yanlış şıkka götürür. Tanımları doğruluk tablosu ve küçük örneklerle sınamak en güvenli yoldur. Konu, grup ve halka gibi yapıların temeli olduğu için Cebir başlığıyla birlikte çalışılır; devamı için Soyut Cebir rehberine bakabilirsin.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: mantık, kümeler ve bağıntılar Cebir başlığıyla birlikte çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te de Cebir %24'tür (~12 soru).

1. Önermeler mantığı

  • Koşullu önerme: p ⇒ q yalnız p doğru, q yanlış iken yanlıştır; p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q.
  • Türetilen önermeler: Karşıt q ⇒ p, ters ¬p ⇒ ¬q, karşıt ters ¬q ⇒ ¬p. Yalnız karşıt ters p ⇒ q’ya denktir.
  • Niceleyicilerin olumsuzu: ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x), ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x).

Örnek 1. p ⇒ q önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?

  1. q ⇒ p
  2. ¬p ⇒ ¬q
  3. p ∧ ¬q
  4. ¬q ⇒ ¬p
  5. ¬p ∧ q
Çözümü göster
  1. Dönüştürp ⇒ q ≡ ¬p ∨ q
  2. Karşıt ters¬q ⇒ ¬p ≡ q ∨ ¬p, aynı ifade
  3. Elep ∧ ¬q, p ⇒ q'nun olumsuzudur; karşıt ve ters p doğru, q yanlış iken farklı değer alır

Cevap: D. Tipik hatalar: karşıtı denk sanmak (A), tersi denk sanmak (B), olumsuzu seçmek (C).

2. Kümeler

  • De Morgan: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′.
  • Eleman sayısı: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B); n elemanlı kümenin kuvvet kümesinde 2ⁿ eleman vardır.
ABE(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
De Morgan kuralı: iki dairenin dışında kalan bölge hem A′ hem B′ içindedir.

3. Bağıntılar ve fonksiyonlar

  • Özellikler: Yansıyan (her a için aRa), simetrik (aRb ⇒ bRa), ters simetrik (aRb ve bRa ⇒ a = b), geçişken (aRb ve bRc ⇒ aRc).
  • Denklik bağıntısı: Yansıyan, simetrik ve geçişken; kümeyi denklik sınıflarına ayırır. Kısmi sıralama: yansıyan, ters simetrik ve geçişken.
  • Sayma (s(A) = n): Tüm bağıntılar 2n², yansıyan 2n² − n, simetrik 2n(n+1)/2, yansıyan ve simetrik 2n(n−1)/2.
  • Fonksiyon (s(A) = m, s(B) = n): A’dan B’ye nᵐ fonksiyon; m ≤ n ise n!/(n − m)! birebir fonksiyon.

Örnek 2. A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı, hem yansıyan hem simetrik olan kaç bağıntı vardır?

  1. 8
  2. 64
  3. 512
  4. 16
  5. 27
Çözümü göster
  1. Yansıma(1,1), (2,2), (3,3) zorunlu; seçim yok
  2. SimetriKöşegen dışı 6 sıralı ikili 3 çift oluşturur: {(1,2),(2,1)}, {(1,3),(3,1)}, {(2,3),(3,2)}; her çift ya birlikte alınır ya hiç
  3. Sonuç2³ = 8

Cevap: A. Tipik hatalar: yalnız yansıyanları saymak (B: 2⁶), tüm bağıntıları saymak (C: 2⁹), 3³ yazmak (E).

Sık hata Doğrusu
p ⇒ q ≡ q ⇒ p Denk olan karşıt terstir: ¬q ⇒ ¬p
¬(∀x P) ≡ ∀x ¬P ¬(∀x P) ≡ ∃x ¬P
Simetrik değilse ters simetriktir İkisi birden ya da hiçbiri olabilir

Çalışma önerisi

Bağıntı sayma sorularında n = 2 için tüm bağıntıları elle listeleyip formülü sına; formülün nereden geldiğini görünce karışıklık kalmaz. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin. Sayma tekrarı için Olasılık ve İstatistik rehberi işine yarar.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.

Ücretsiz deneSeti incele →