İçeriğe geç

ÖABT Matematik Karmaşık Sayılar rehberi: kutupsal biçim, De Moivre ve kök bulma

ÖABT Matematik karmaşık sayılar: kutupsal biçim, modül ve argüman, De Moivre formülü, n. dereceden kökler ve birim kökler; çözümlü örneklerle.

Karmaşık sayı sorularında uzun çarpımlar neredeyse her zaman kutupsal biçimle kısalır: (1 + i)10’u açarak değil, modül ve argümanla hesaplamak gerekir. Konu matematiksel olarak Cebir başlığı altında çalışılır; polinom kökleriyle bağlantısı için Polinomlar rehberine bakabilirsin.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: karmaşık sayılar Cebir başlığı altında çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te Analiz %36, Cebir %24'tür.

1. Temel kavramlar

  • Cebirsel biçim: z = a + bi, eşleniği z̄ = a − bi, modülü |z| = √(a² + b²), z·z̄ = |z|².
  • Kutupsal biçim: z = r(cos θ + i sin θ) = r·cis θ; r = |z|, θ = arg z.
  • Çarpma ve bölme: Modüller çarpılır (bölünür), argümanlar toplanır (çıkarılır).

2. De Moivre formülü

  • Kuvvet: [r·cis θ]ⁿ = rⁿ·cis(nθ).
  • Argümanı indir: nθ’yı 2π’nin katlarından arındırıp [0, 2π) aralığına getir.

Örnek 1. (1 + i)10 ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 32
  2. −32
  3. −32i
  4. 1024i
  5. 32i
Çözümü göster
  1. Kutupsal1 + i = √2·cis(π/4)
  2. De Moivre(1 + i)10 = (√2)10·cis(10π/4) = 32·cis(5π/2)
  3. Argümanı indir5π/2 − 2π = π/2 ⇒ cis(π/2) = i
  4. Sonuç32i

Cevap: E. Tipik hatalar: modülü √2 yerine 2 alıp 1024 bulmak (D), argümanı indirirken işareti karıştırmak (C).

3. n. dereceden kökler

  • Kök formülü: zⁿ = r·cis θ’nın n kökü ⁿ√r·cis((θ + 2kπ)/n), k = 0, 1, …, n − 1.
  • Geometri: Kökler, yarıçapı ⁿ√r olan çember üzerinde 2π/n arayla düzgün çokgenin köşeleridir; toplamları 0’dır (n ≥ 2).

Örnek 2. z³ = −8 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1 + √3i
  2. −1 + √3i
  3. 2i
  4. √3 + i
  5. −2i
Çözümü göster
  1. Kutupsal−8 = 8·cis π
  2. Köklerz = 2·cis((π + 2kπ)/3), k = 0, 1, 2 ⇒ argümanlar π/3, π, 5π/3
  3. k = 02·cis(π/3) = 1 + √3i

Cevap: A. Tipik hatalar: z³ = 8’in kökünü yazmak (B: (−1 + √3i)³ = 8), argümanı π/2 sanmak (C, E).

1 + √3i−21 − √3iReIm
Örnek 2: z³ = −8’in kökleri yarıçapı 2 olan çember üzerinde 120° arayla eşkenar üçgenin köşeleridir.
Sık hata Doğrusu
1 + i
Argüman her zaman arctan(b/a) Bölgeye bak: a < 0 ise π eklenir
zⁿ = w’nin tek kökü vardır n tane kök vardır, 2π/n arayla

Çalışma önerisi

Birim çember üzerindeki özel açıların (π/6, π/4, π/3 ve katları) cos ve sin değerlerini ezberle; kök sorularında önce kökleri çembere yerleştirip şıkları gözle ele. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.