İçeriğe geç

ÖABT Matematik Lineer Cebir rehberi: matris, determinant ve özdeğer

ÖABT Matematik Lineer Cebir soru tipleri: matris işlemleri, determinant, ters matris, rank, lineer dönüşüm ve özdeğer; kısa yöntemler ve çözümlü örnekler.

ÖSYM’nin 2026-MEB-AGS kılavuzuna göre Cebir, Matematik ve İlköğretim Matematik ÖABT’de testin yaklaşık %24’ünü oluşturur. Lineer Cebir bu bölümün hesap ağırlıklı, kuralları net ve iyi çalışınca hızlı puan getiren kısmıdır. Alanlara göre dağılım için konu dağılımı yazısına bakabilirsin.

Aşağıdaki örneklerin sayıları SymPy ile doğrulanmıştır.

1. Determinant

  • 2×2: ad − bc. 3×3: Sarrus ya da bir satır/sütuna göre kofaktör açılımı; çok sıfırlı satırı seç.
  • Özellikler: det(AB) = det A · det B, det(AT) = det A, det(kA) = kn det A (n×n). Bir satırın katını başka satıra eklemek determinantı değiştirmez; iki satırın yer değiştirmesi işaret değiştirir.
  • Üçgensel matris: Determinant, köşegen elemanların çarpımıdır.

Örnek 1. A = [[2, 1, 0], [1, 3, 1], [0, 1, 2]] matrisinin determinantı kaçtır? (Satırlar köşeli parantez içinde verilmiştir.)

  1. 4
  2. 6
  3. 10
  4. 12
  5. 8
Çözümü göster

Birinci satıra göre açalım: 2·(3·2 − 1·1) − 1·(1·2 − 1·0) + 0 = 2·5 − 2 = 8. Cevap: E

Tipik hatalar: ikinci terimin eksi işaretini unutup 12 bulmak (D), yalnız ilk terimi alıp 10 bulmak (C).

2. Ters matris, rank ve denklem sistemleri

  • 2×2 ters: [[a, b], [c, d]]−1 = (1/(ad − bc))·[[d, −b], [−c, a]].
  • Tersinirlik: det A ≠ 0 ⇔ A tersinir ⇔ rank A = n ⇔ Ax = 0 yalnız sıfır çözümlü.
  • Homojen sistem: Çözüm uzayının boyutu = bilinmeyen sayısı − rank.
  • Çözüm yok / sonsuz çözüm: Katsayılar orantılı, sabitler orantısızsa çözüm yok; hepsi orantılıysa sonsuz çözüm.

Örnek 2. A = [[2, 1], [5, 3]] matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [[3, −1], [−5, 2]]
  2. [[3, 1], [5, 2]]
  3. [[2, −5], [−1, 3]]
  4. [[−3, 1], [5, −2]]
  5. [[3, −5], [−1, 2]]
Çözümü göster

det A = 2·3 − 1·5 = 1. Köşegeni yer değiştir, diğerlerinin işaretini değiştir: [[3, −1], [−5, 2]]. det = 1 olduğu için bölme gerekmez. Cevap: A

Tipik hatalar: işaretleri değiştirmemek (B), devrik almak (C, E), determinantı −1 sanmak (D).

3. Lineer dönüşümler

  • Lineerlik testi: T(0) = 0 olmalı; sabit terim (ör. y − 3) varsa dönüşüm lineer değildir.
  • Standart matris: Sütunlar sırasıyla T(e1), T(e2), …
  • Çekirdek ve görüntü: Çekirdek T(v) = 0 çözümü; boyut formülü: dim Çek T + dim Gör T = dim (tanım uzayı).

4. Özdeğer ve özvektör

  • Karakteristik denklem: det(A − λI) = 0.
  • Kısayol: Özdeğerlerin toplamı = iz (köşegen toplamı), çarpımı = determinant. 2×2’de denklem λ2 − (iz)λ + det = 0.
  • Üçgensel matris: Özdeğerler köşegen elemanlarıdır.

Örnek 3. A = [[4, 1], [2, 3]] matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1 ve 6
  2. 2 ve 5
  3. 3 ve 4
  4. −2 ve −5
  5. 2 ve 3
Çözümü göster

İz = 7, det = 4·3 − 1·2 = 10. λ2 − 7λ + 10 = 0 ⇒ (λ − 2)(λ − 5) = 0 ⇒ λ = 2, 5. Cevap: B

Tipik hatalar: köşegeni özdeğer sanmak (C; matris üçgensel değil), işaret hatası (D).

Çalışma önerisi

Lineer Cebir’de formül listesi kısa, uygulama çeşidi çoktur. Her konudan 10–15 soruluk karışık setlerle çalış ve hesap hatalarını ayrı not et: bu bölümde yanlışların önemli kısmı yöntemden değil, işaret ve aritmetikten gelir. Deneme sonrası netini puan hesaplama aracıyla takip edebilirsin.

Erkan Laz ÖABT Matematik denemelerinde Lineer Cebir soruları gerçek sınav düzeninde yer alır; her sayfanın QR’ı o sayfanın video çözümlerini açar.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları).