İçeriğe geç

ÖABT Matematik Analitik Geometri rehberi: doğru, çember ve vektör soruları

ÖABT Matematik analitik geometri soru tipleri: uzaklık, doğru denklemi, çember, konikler, vektörler ve uzayda düzlem; kısa yöntemler ve çözümlü örnekler.

Analitik geometri soruları formül bilgisinden çok doğru formülü doğru yerde kullanmayı ölçer. ÖSYM kılavuzuna göre Geometri, Lise Matematik ÖABT’nin yaklaşık %20’si, İlköğretim Matematik ÖABT’nin yaklaşık %24’üdür (konu dağılımı).

Aşağıdaki örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.

1. Noktalar ve uzaklık

  • İki nokta arası: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Uzayda üçüncü terim eklenir.
  • Orta nokta ve ağırlık merkezi: Koordinatların ortalaması (üçgende üç noktanınki).
  • Alan: Köşeleri bilinen üçgenin alanı determinant (ayakkabı bağı) formülüyle ya da vektörel çarpımın normunun yarısıyla.

Örnek 1. A(1, 2) ve B(5, −1) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. 3
  2. 4
  3. √13
  4. 7
  5. 5
Çözümü göster

|AB| = √(4² + (−3)²) = √25 = 5. Cevap: E

Tipik hatalar: farkları toplamak (D, 4 + 3), yalnız bir koordinat farkını almak (A, B), x farkını 5 − 2 = 3 sanıp √(9 + 4) = √13 bulmak (C).

2. Doğrular

  • Eğim: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); ax + by + c = 0 için m = −a/b.
  • Paralel / dik: m₁ = m₂ / m₁·m₂ = −1.
  • Noktanın doğruya uzaklığı: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
  • Paralel iki doğru arası: |c₁ − c₂| / √(a² + b²) (katsayılar eşitlendikten sonra).

Örnek 2. P(2, 1) noktasının 3x − 4y + 5 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

  1. 7/5
  2. 3/5
  3. 7
  4. 1
  5. 9/5
Çözümü göster

d = |3·2 − 4·1 + 5| / √(9 + 16) = 7/5. Cevap: A

Tipik hatalar: paydayı unutmak (C), sabit terimi işaretiyle yanlış almak (B, |6 − 4 − 5| = 3).

3. Çember ve konikler

  • Çember: (x − a)² + (y − b)² = r². Genel denklem x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ise merkez (−D/2, −E/2), r² = (D² + E² − 4F)/4.
  • Doğru–çember konumu: Merkezin doğruya uzaklığı ile r’yi karşılaştır.
  • Elips, hiperbol, parabol: Standart denklemler, odaklar (c² = a² − b² elipste, c² = a² + b² hiperbolde) ve dış merkezlik e = c/a.

Örnek 3. x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 çemberinin merkezi ve yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (−3, 2), 4
  2. (3, −2), √10
  3. (6, −4), 4
  4. (3, −2), 4
  5. (3, 2), 4
Çözümü göster

Tam kareye tamamla: (x − 3)² + (y + 2)² = 3 + 9 + 4 = 16. Merkez (3, −2), r = 4. Cevap: D

Tipik hatalar: işaretleri ters almak (A), sabiti ters işaretle ekleyip r² = 10 bulmak (B), katsayıları ikiye bölmemek (C).

4. Vektörler ve uzayda doğru–düzlem

  • İç çarpım: u·v = |u||v|cos θ; u·v = 0 ⇔ dik.
  • Vektörel çarpım: u × v hem u’ya hem v’ye diktir; |u × v| paralelkenarın alanıdır.
  • Düzlem: Normal vektörü n = (a, b, c) ve bir noktası (x₀, y₀, z₀) olan düzlem a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0. İki vektöre paralel düzlemin normali, bu vektörlerin vektörel çarpımıdır.
  • Doğruya dik düzlem: Doğrunun doğrultu vektörü düzlemin normali olur.

Çalışma önerisi

Analitik geometride çeldiricilerin büyük kısmı işaret ve katsayı hatasından gelir. Formülü yazdıktan sonra değerleri yerine koymadan önce işaretleri kontrol etmeyi alışkanlık hâline getir; şekil çizmek çoğu zaman yanlış şıkkı hemen eler. Netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu tip soruları gerçek sınav süresinde deneyebilirsin. Çalışma saatini konulara bölmek için çalışma planı yazısına bak.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.