İçeriğe geç

ÖABT Matematik Soyut Cebir rehberi: grup, halka ve cisim soruları

ÖABT Matematik Soyut Cebir soru tipleri: grup aksiyomları, eleman mertebesi, permütasyonlar, alt grup, halka ve cisim; kısa yöntemler ve çözümlü örnekler.

Soyut Cebir, ÖSYM’nin 2026-MEB-AGS kılavuzunda testin yaklaşık %24’ü olarak verilen Cebir alanının parçasıdır. Tanımlar soyut görünse de ÖABT soruları çoğunlukla birkaç temel teoremin doğrudan uygulamasıdır: mertebe, Lagrange, EBOB/EKOK ve Zn yapısı. Alanlara göre dağılım için konu dağılımı yazısına bakabilirsin.

Aşağıdaki örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.

1. Grup aksiyomları ve temel kavramlar

  • Grup: Kapalılık, birleşme, birim eleman, her elemanın tersi. Değişme özelliği de varsa değişmeli (abelyen) grup.
  • Lagrange teoremi: Sonlu grupta alt grubun mertebesi grubun mertebesini böler; bu yüzden eleman mertebesi de grup mertebesini böler.
  • Devirli grup: Zn’de k elemanı üreteçtir ⇔ EBOB(k, n) = 1. Üreteç sayısı φ(n)’dir (Euler fonksiyonu).

2. Eleman mertebesi

  • Zn’de (toplama): k’nin mertebesi n / EBOB(k, n).
  • Permütasyonlarda: Ayrık devirlerin uzunluklarının EKOK’u. Önce çarpımı ayrık devirlere ayırmayı unutma.
  • Direkt çarpımda: (a, b)’nin mertebesi, bileşen mertebelerinin EKOK’u.

Örnek 1. (Z12, +) grubunda 8 elemanının mertebesi kaçtır?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 3
  5. 12
Çözümü göster

Mertebe = 12 / EBOB(8, 12) = 12 / 4 = 3. Kontrol: 8 + 8 + 8 = 24 ≡ 0 (mod 12). Cevap: D

Tipik hatalar: EBOB’u cevap sanmak (B), grubun mertebesini yazmak (E).

Örnek 2. S5 permütasyon grubunda σ = (1 2 3)(4 5) elemanının mertebesi kaçtır?

  1. 5
  2. 3
  3. 6
  4. 2
  5. 12
Çözümü göster

Devirler ayrık; uzunluklar 3 ve 2. Mertebe = EKOK(3, 2) = 6. Cevap: C

Tipik hatalar: uzunlukları toplamak (A), en uzun devri almak (B), çarpmak yerine EKOK’u yanlış hesaplamak (E).

3. Alt grup ve homomorfizma

  • Alt grup testi: Boş olmayan H için a, b ∈ H ⇒ a·b−1 ∈ H.
  • Homomorfizma: f(a·b) = f(a)·f(b); birimi birime götürür. Çekirdek her zaman normal alt gruptur.
  • Zn’den Zm’ye homomorfizma sayısı: EBOB(n, m).

4. Halka ve cisim

  • Halka: Toplamaya göre değişmeli grup, çarpmaya göre birleşme ve dağılma.
  • Sıfır bölen: a ≠ 0, b ≠ 0 ve ab = 0. Zn’de n asal değilse sıfır bölen vardır (Z8’de 2·4 = 0).
  • Cisim: Sıfır dışındaki her eleman çarpmaya göre tersinir. Zn cisimdir ⇔ n asaldır.
  • Birimler: Zn’de tersinir elemanlar EBOB(k, n) = 1 olanlardır; sayıları φ(n).

Örnek 3. Aşağıdakilerden hangisi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir cisimdir?

  1. Z6
  2. Z9
  3. Z15
  4. Z21
  5. Z11
Çözümü göster

Zn cisim ⇔ n asal. Yalnız 11 asal. Cevap: E

Z9 (B) sık seçilir çünkü 9 tektir; ama 3·3 ≡ 0 (mod 9), yani sıfır bölen var. Bir de Z11’de tersi bulmayı dene: 3·4 = 12 ≡ 1, yani 3’ün tersi 4.

Çalışma önerisi

Soyut Cebir’de tanımı bilmek yetmez, karşı örnek de hazır olmalı: “Her X, Y midir?” türü öncüllü sorularda tek bir karşı örnek (Z8, S3, Z gibi) seçeneği eler. Kendine küçük bir karşı örnek listesi çıkar ve deneme sonrası yanlışlarını bu listeye göre gözden geçir. Netini puan hesaplama aracında görebilirsin.

Erkan Laz ÖABT Matematik denemeleri, Soyut Cebir dahil tüm alanlarda gerçek sınav düzeninde hazırlandı; her sayfadaki QR video çözüme gider.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları).