İçeriğe geç

ÖABT Matematik Dönüşüm Geometrisi rehberi: öteleme, dönme, yansıma ve bileşke

ÖABT Matematik dönüşüm geometrisi: öteleme, dönme, yansıma, homoteti, dönüşüm matrisleri ve bileşkede sıranın önemi; çözümlü örneklerle.

Dönüşüm sorularında hata çoğu zaman hesapta değil yönde ve sırada yapılır: dönme saat yönünün tersine mi, önce yansıma mı öteleme mi? Her dönüşümü bir matris ya da kısa bir kural olarak yazarsan bu karışıklık biter. Konu Geometri başlığı altında çalışılır; matrislerle lineer dönüşüm için Lineer Cebir rehberine bakabilirsin.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: dönüşüm geometrisi Geometri başlığı altında çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te Geometri %24'tür (~12 soru).

1. İzometriler

  • Öteleme: (x, y) → (x + a, y + b). Uzunluk, açı ve yön korunur.
  • Dönme (orijin, θ, saat yönünün tersine): (x, y) → (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). 90° için (x, y) → (−y, x).
  • Yansıma: x eksenine göre (x, −y), y eksenine göre (−x, y), y = x doğrusuna göre (y, x), y = −x doğrusuna göre (−y, −x).

Örnek 1. A(3, 1) noktası orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülürse hangi noktaya gider?

  1. (−1, 3)
  2. (1, −3)
  3. (−3, 1)
  4. (3, −1)
  5. (−3, −1)
Çözümü göster
  1. Kural90° dönme: (x, y) → (−y, x)
  2. Uygula(3, 1) → (−1, 3)
  3. KontrolUzaklık korunur: √10 = √10; iki vektörün iç çarpımı 3·(−1) + 1·3 = 0, yani aralarındaki açı 90°

Cevap: A. Tipik hatalar: saat yönünde döndürmek (B), işareti yanlış koordinata koymak (C), x eksenine göre yansıtmak (D).

90°A(3, 1)A′(−1, 3)xy
Örnek 1: Dönme uzaklığı korur; OA ile OA′ arasındaki açı 90°'dir.

2. Dönüşüm matrisleri

  • Dönme matrisi: R(θ) = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]; determinantı 1.
  • Yansıma matrisi: Determinantı −1’dir; yönü (saat yönünü) tersine çevirir.
  • Homoteti (merkez orijin, oran k): (x, y) → (kx, ky); uzunluklar |k|, alanlar k² katına çıkar.

3. Bileşke: sıra önemlidir

  • Sıra: g ∘ f, önce f sonra g demektir. Öteleme ile yansıma genelde yer değiştirmez.
  • İki yansıma: Kesişen iki doğruya göre art arda yansıma, kesişim noktası etrafında doğrular arasındaki açının iki katı kadar dönmedir; paralel iki doğruya göre yansıma ise ötelemedir.

Örnek 2. P(2, 5) noktası önce y = x doğrusuna göre yansıtılıyor, sonra x ekseni yönünde 3 birim (sağa) öteleniyor. Elde edilen nokta hangisidir?

  1. (5, 5)
  2. (−2, −2)
  3. (8, 2)
  4. (2, 2)
  5. (5, 2)
Çözümü göster
  1. Yansımay = x doğrusuna göre (x, y) → (y, x): (2, 5) → (5, 2)
  2. Öteleme(5, 2) → (5 + 3, 2) = (8, 2)

Cevap: C. Tipik hatalar: sırayı ters uygulamak (A: önce öteleme (5, 5), sonra yansıma yine (5, 5)), y = −x’e göre yansıtmak (B), ötelemeyi sola yapmak (D), ötelemeyi unutmak (E).

Sık hata Doğrusu
90° dönme: (x, y) → (y, −x) Saat yönünün tersine (−y, x); (y, −x) saat yönündedir
g ∘ f’de önce g uygulanır Önce f, sonra g
Homotetide alan k katına çıkar Alan k² katına çıkar

Çalışma önerisi

Her soruda bir noktanın görüntüsünü bulduktan sonra uzaklığı ya da açıyı kontrol et; dönüşüm doğruysa izometri uzaklığı korur. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin. Karmaşık düzlemde dönme için Karmaşık Sayılar rehberi de işine yarar.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.

Ücretsiz deneSeti incele →