İçeriğe geç

ÖABT Matematik Diferansiyel Geometri rehberi: eğrilik, burulma ve Frenet çatısı

ÖABT Matematik diferansiyel geometri: parametrik eğri, yay uzunluğu, eğrilik ve burulma formülleri, Frenet çatısı ve helis; çözümlü örneklerle.

Eğri sorularının çoğu iki formüle dayanır: eğrilik için hız ile ivmenin vektörel çarpımı, burulma için buna üçüncü türevin eklenmesi. Formülü doğru kurup paydadaki kuvveti unutmazsan soru birkaç satırda biter. Konu Geometri başlığı altında çalışılır; vektörel çarpım ve uzayda doğru için Analitik Geometri rehberine bakabilirsin.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: diferansiyel geometri Geometri başlığı altında çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te Geometri %24'tür (~12 soru).

1. Parametrik eğri ve yay uzunluğu

  • Hız ve sürat: r(t) eğrisinde hız vektörü r′(t), sürat ‖r′(t)‖.
  • Yay uzunluğu: a ≤ t ≤ b için s = ∫ ‖r′(t)‖ dt. ‖r′‖ = 1 ise eğri yay uzunluğuyla parametrelenmiştir.
  • Birim teğet: T = r′ / ‖r′‖.

2. Eğrilik

  • Formül: κ = ‖r′ × r″‖ / ‖r′‖³. Düzlem eğrisi y = f(x) için κ = |f″| / (1 + f′²)3/2.
  • Eğrilik yarıçapı: R = 1/κ; eğriye o noktada en iyi uyan (oskülatör) çemberin yarıçapıdır.
  • Doğru ve çember: Doğruda κ = 0, yarıçapı a olan çemberde κ = 1/a.

Örnek 1. r(t) = (t, t², 0) eğrisinin t = 1 noktasındaki eğriliği kaçtır?

  1. 2/5
  2. 2√5/25
  3. 2√5/5
  4. 1/2
  5. 2
Çözümü göster
  1. Türevlerr′ = (1, 2t, 0), r″ = (0, 2, 0)
  2. Vektörel çarpımr′ × r″ = (0, 0, 2) ⇒ ‖r′ × r″‖ = 2
  3. Süratt = 1'de ‖r′‖ = √5 ⇒ ‖r′‖³ = 5√5
  4. Sonuçκ = 2 / (5√5) = 2√5/25

Cevap: B. Tipik hatalar: paydada küp yerine sürati almak (C: 2/√5), ‖r″‖/‖r′‖² yazmak (A), t = 0’da hesaplamak (E).

M(0, 1/2)κ = 2, R = 1/2y = x²xy
y = x² parabolünün tepe noktasında eğrilik 2'dir; oskülatör çemberin yarıçapı 1/2, merkezi (0, 1/2).

3. Burulma ve Frenet çatısı

  • Frenet çatısı: T (teğet), N (asli normal), B = T × N (binormal). N, T′ yönündedir.
  • Burulma: τ = (r′ × r″) · r‴ / ‖r′ × r″‖². Düzlem eğrisinde τ = 0.
  • Helis: r(t) = (a cos t, a sin t, bt) için κ = a/(a² + b²), τ = b/(a² + b²); ikisi de sabittir.

Örnek 2. r(t) = (3 cos t, 3 sin t, 4t) helisinin burulması kaçtır?

  1. 3/25
  2. 4/5
  3. 3/5
  4. 4/25
  5. 1/4
Çözümü göster
  1. Türevlerr′ = (−3 sin t, 3 cos t, 4), r″ = (−3 cos t, −3 sin t, 0), r‴ = (3 sin t, −3 cos t, 0)
  2. Vektörel çarpımr′ × r″ = (12 sin t, −12 cos t, 9) ⇒ ‖r′ × r″‖² = 144 + 81 = 225
  3. Karma çarpım(r′ × r″) · r‴ = 36 sin²t + 36 cos²t = 36
  4. Sonuçτ = 36/225 = 4/25

Cevap: D. Tipik hatalar: eğriliği vermek (A: κ = 3/25), b/√(a² + b²) yazmak (B), a ile b’yi karıştırmak (C).

Sık hata Doğrusu
κ = ‖r′ × r″‖ / ‖r′‖ Paydada ‖r′‖³ vardır
Burulmada payda ‖r′ × r″‖ Payda ‖r′ × r″‖²
Helisin eğriliği 1/a κ = a/(a² + b²); b = 0 ise 1/a olur

Çalışma önerisi

Helis ve çemberin κ, τ değerlerini formülden bir kez kendin türet; sınavda bunları doğrudan kullanırsın. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin. Türev ve integral tekrarı için Analiz rehberi işine yarar.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.

Ücretsiz deneSeti incele →