İçeriğe geç

ÖABT Matematik Sayılar Teorisi rehberi: bölünebilme, EBOB-EKOK ve modüler aritmetik

ÖABT Matematik sayılar teorisi soru tipleri: bölünebilme, asal çarpanlar, EBOB-EKOK, modüler aritmetik, Fermat ve Euler teoremleri; çözümlü örneklerle.

Sayılar teorisi, ÖSYM kılavuzunda yaklaşık %24 ağırlıkla verilen Cebir alanının (konu dağılımı) en “kısa yoldan” çözülen sorularını içerir: doğru teoremi hatırlayan aday, uzun bölme ya da deneme yanılmaya girmeden sonuca ulaşır. Soyut cebirle de yakından ilişkilidir; Zn yapısı için Soyut Cebir rehberine bakabilirsin.

Aşağıdaki örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.

1. Bölünebilme ve asal çarpanlar

  • Asal çarpanlara ayırma: n = p₁a₁·p₂a₂⋯ ise pozitif bölen sayısı (a₁ + 1)(a₂ + 1)⋯ olur. Örneğin 360 = 2³·3²·5 için 4·3·2 = 24 bölen.
  • Bölünebilme kuralları: 3 ve 9 için rakamlar toplamı, 11 için rakamların dönüşümlü toplamı, 4 ve 8 için son iki/üç basamak.

2. EBOB ve EKOK

  • Öklid algoritması: EBOB(a, b) = EBOB(b, a mod b).
  • Temel bağıntı: EBOB(a, b)·EKOK(a, b) = a·b.
  • Bézout: EBOB(a, b) = d ise ax + by = d olacak biçimde x, y tam sayıları vardır; ax + by = c denkleminin tam sayı çözümü ancak d | c ise vardır.

Örnek 1. EBOB(252, 198) ve EKOK(252, 198) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 18 ve 2772
  2. 9 ve 5544
  3. 36 ve 1386
  4. 18 ve 49896
  5. 6 ve 8316
Çözümü göster

Öklid: 252 = 1·198 + 54, 198 = 3·54 + 36, 54 = 1·36 + 18, 36 = 2·18. EBOB = 18. EKOK = 252·198 / 18 = 2772. Cevap: A

Tipik hatalar: EKOK yerine a·b’yi yazmak (D, 49896), Öklid’de bir adımı atlamak (B, C, E).

3. Modüler aritmetik

  • Kalanlarla işlem: Toplama, çıkarma ve çarpma kalanlar üzerinden yapılabilir.
  • Fermat’ın küçük teoremi: p asal ve p ∤ a ise ap−1 ≡ 1 (mod p).
  • Euler teoremi: EBOB(a, n) = 1 ise aφ(n) ≡ 1 (mod n). φ(n), n’den küçük ve n ile aralarında asal pozitif tam sayıların sayısıdır (ör. φ(36) = 12).
  • Doğrusal denklik: ax ≡ b (mod n), EBOB(a, n) = 1 ise tek çözümlüdür: a’nın tersiyle çarp.

Örnek 2. 3100 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

  1. 1
  2. 3
  3. 4
  4. 5
  5. 2
Çözümü göster

Fermat: 36 ≡ 1 (mod 7). 100 = 6·16 + 4 ⇒ 3100 ≡ 34 = 81 ≡ 4 (mod 7). Cevap: C

Tipik hatalar: üssü 7’ye göre indirmek (100 = 7·14 + 2 ⇒ 9 ≡ 2, E), 100’ü 6’ya tam bölünüyor sanmak (A).

Örnek 3. 7x ≡ 3 (mod 10) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?

  1. 1
  2. 3
  3. 7
  4. 9
  5. 5
Çözümü göster

EBOB(7, 10) = 1, tek çözüm var. 7’nin mod 10’daki tersi 3’tür (7·3 = 21 ≡ 1). x ≡ 3·3 = 9 (mod 10). Kontrol: 7·9 = 63 ≡ 3. Cevap: D

Tipik hatalar: 3’ü 7’ye “bölmeye” çalışıp tersi cevap sanmak (B), 7 ile 3’ün yerini karıştırmak (C).

Çalışma önerisi

Bu konuda formül listesi kısa: bölen sayısı, Öklid, EBOB·EKOK bağıntısı, Fermat, Euler ve ters eleman. Hepsini bir sayfaya yaz ve her birinden 10 soru çöz; sonra karışık sette hangi teoremin gerektiğini tanımaya çalış. Netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soruları gerçek sınav süresinde deneyebilirsin.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.