İçeriğe geç

ÖABT Matematik Polinomlar rehberi: kalan teoremi, Vieta bağıntıları ve kökler

ÖABT Matematik polinomlar: kalan ve çarpan teoremi, rasyonel kök testi, Vieta bağıntıları ve köklerin simetrik ifadeleri; çözümlü örneklerle.

Polinom soruları ÖABT’de genellikle tek bir teoremle çözülür: kalan teoremi, çarpan teoremi ya da Vieta bağıntıları. Kökleri tek tek bulmadan simetrik ifadeleri hesaplamak hem süre kazandırır hem de hata payını düşürür. Konu matematiksel olarak Cebir başlığı altında çalışılır; karmaşık köklü durumlar için Karmaşık Sayılar rehberine bakabilirsin.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: polinomlar Cebir başlığı altında çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te Analiz %36, Cebir %24'tür.

1. Bölme, kalan ve çarpan teoremi

  • Kalan teoremi: P(x)’in (x − a) ile bölümünden kalan P(a)’dır.
  • Çarpan teoremi: P(a) = 0 ⇔ (x − a), P(x)’in çarpanıdır.
  • İkinci dereceden bölen: Kalanın derecesi en çok 1’dir: kalan = mx + n biçiminde yazılır.

Örnek 1. P(x) = x³ − 2x² + ax + 4 polinomunun (x − 2) ile bölümünden kalan 6 ise a kaçtır?

  1. −1
  2. 3
  3. 5
  4. 1
  5. 2
Çözümü göster
  1. Kalan teoremiP(2) = 6
  2. Yerine koy8 − 8 + 2a + 4 = 6
  3. Çöz2a = 2 ⇒ a = 1

Cevap: D. Tipik hatalar: sabit terim 4’ü unutmak (B, 2a = 6), 2a yerine a yazmak (E).

2. Vieta bağıntıları

  • Üçüncü derece: ax³ + bx² + cx + d = 0’ın kökleri x₁, x₂, x₃ ise x₁ + x₂ + x₃ = −b/a, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a, x₁x₂x₃ = −d/a.
  • Kareler toplamı: Σxᵢ² = (Σxᵢ)² − 2·Σxᵢxⱼ.
  • Rasyonel kök testi: Tam katsayılı polinomun p/q rasyonel kökünde p | d ve q | a.
6kökler toplamı (−b/a)
11ikişerli çarpımlar toplamı (c/a)
6kökler çarpımı (−d/a)
14kareler toplamı = 6² − 2·11

Örnek 2. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamı kaçtır?

  1. 36
  2. 6
  3. 22
  4. 25
  5. 14
Çözümü göster
  1. VietaΣx = 6, Σxixj = 11
  2. ÖzdeşlikΣx² = 6² − 2·11 = 14
  3. KontrolKökler 1, 2, 3: 1 + 4 + 9 = 14

Cevap: E. Tipik hatalar: (Σx)²’yi kareler toplamı sanmak (A, 36), 2 çarpanını unutmak (D, 25), 2·11’i yanıt olarak yazmak (C).

123P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6
Örnek 2: polinomun grafiği x eksenini 1, 2 ve 3’te keser; Vieta ile bulunan toplamlar bu köklerle tutarlıdır.
Sık hata Doğrusu
(x − a) ile bölümde kalan P(−a) Kalan P(a)
Kökler toplamı b/a Kökler toplamı −b/a
Σx² = (Σx)² Σx² = (Σx)² − 2Σxixj

Çalışma önerisi

Vieta bağıntılarını ikinci, üçüncü ve dördüncü derece için tek kartta topla; kök sorularında önce “kökleri bulmadan çözebilir miyim?” diye sor. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.