İçeriğe geç

ÖABT Matematik Analiz rehberi: limit, türev ve integral soru tipleri

ÖABT Matematik Analiz konularında limit, süreklilik, türev, integral ve seri soru tipleri; her biri için kısa yöntem ve kitapçık tarzında çözümlü örnekler.

ÖSYM’nin 2026-MEB-AGS kılavuzuna göre Analiz, hem Lise hem İlköğretim Matematik ÖABT’de testin yaklaşık %36’sını oluşturur; 50 soruda bu, yaklaşık 18 soru demektir. Ayrıntılı dağılım için ÖABT Matematik konu dağılımı yazısına bakabilirsin.

Bu yazıda Analiz’i soru tiplerine ayırıyor, her tip için hatırlanması gereken yöntemi ve çözümlü örnekleri veriyoruz. Örneklerin sayıları bilgisayar cebir sistemiyle (SymPy) doğrulanmıştır.

1. Limit ve süreklilik

Sık karşılaşılan kalıplar:

  • Belirsizlikler: 0/0 ve ∞/∞ için çarpanlara ayırma, eşlenik ya da L’Hôpital; 1∞, 00, ∞0 için logaritma alma ya da e tanımı.
  • 1∞ kısayolu: f → 1 ve g → ∞ ise lim fg = elim g·(f − 1).
  • Süreklilik: Bir noktada sürekli olmak için sağ limit = sol limit = fonksiyon değeri. Parçalı fonksiyonlarda bilinmeyen sabit genelde bu eşitlikten bulunur.
  • İki değişkenli limit: Farklı yollardan (y = mx, x = my² gibi) farklı değer çıkıyorsa limit yoktur.

Örnek 1. limx→0 (1 + 2x)3/x limitinin değeri kaçtır?

  1. e2
  2. e3
  3. e5
  4. e6
  5. e9
Çözümü göster

1∞ belirsizliği: üs, (3/x)·(1 + 2x − 1) = (3/x)·2x = 6. Limit e6. Cevap: D

Tipik hata: üssü yalnız 3 alıp e3 (B) ya da 2 ile 3’ü toplayıp e5 (C) bulmak.

2. Türev ve uygulamaları

  • Teğet ve normal: Teğetin eğimi m = f′(a); normalin eğimi −1/m. Denklem: y − f(a) = m(x − a).
  • Ters fonksiyonun türevi: (f−1)′(b) = 1 / f′(a), burada f(a) = b.
  • Ekstremum ve büküm: f′ = 0 kritik nokta; f″ işareti yerel maksimum/minimumu, f″ işaret değişimi büküm noktasını verir.
  • Kapalı ve parametrik türev: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).

Örnek 2. f(x) = x3 − 3x2 + 4 eğrisine x = 1 noktasında çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. y = −3x + 5
  2. y = 3x − 1
  3. y = −3x + 2
  4. y = x/3 + 5/3
  5. y = −x + 3
Çözümü göster

f(1) = 1 − 3 + 4 = 2, f′(x) = 3x2 − 6x ⇒ f′(1) = −3. Teğet: y − 2 = −3(x − 1) ⇒ y = −3x + 5. Cevap: A

Tipik hatalar: eğimin işaretini kaçırmak (B), noktayı yerine koymayı unutmak (C), normalin eğimini kullanmak (D).

3. İntegral

  • Değişken değiştirme: İçteki fonksiyonun türevi çarpan olarak görünüyorsa u = (iç fonksiyon) de.
  • Kısmi integral: ∫u dv = uv − ∫v du; “LAPTÜ” sırası (logaritma, ters trigonometrik, polinom, trigonometrik, üstel) u seçiminde işe yarar.
  • Belirli integral ve alan: Tam değer, mutlak değer ya da parçalı fonksiyon varsa aralığı kırılma noktalarından böl.

Örnek 3. ∫02 x·ex² dx integralinin değeri kaçtır?

  1. e4 − 1
  2. (e2 − 1)/2
  3. (e4 − 1)/2
  4. 2e4
  5. e4/2
Çözümü göster

u = x2 ⇒ du = 2x dx, sınırlar 0 → 4. İntegral (1/2)∫04 eu du = (e4 − 1)/2. Cevap: C

Tipik hatalar: 1/2 katsayısını unutmak (A), sınırları değiştirmemek (B), alt sınırı (e0 = 1) çıkarmamak (E).

4. Diziler ve seriler

  • Dizi limiti: En hızlı büyüyen terime böl (ör. 16n).
  • Seri testleri: Oran testi (kuvvet serilerinde yakınsaklık yarıçapı), karşılaştırma, alterne seri testi.
  • Kuvvet serisinde uç noktalar: Yarıçaptan sonra uç noktaları ayrıca dene; çeldiriciler çoğu zaman yalnız uçları değiştirir.

Çalışma önerisi

Her tip için önce yöntemi bir kez yaz, sonra karışık sorularla süre tutarak çöz. Analiz soruları ÖABT’nin en büyük bölümü olduğu için, deneme sonrası yanlışlarını konu konu ayırmak hangi tipte zorlandığını hızlıca gösterir. Netini ve tahmini puanını puan hesaplama aracında görebilirsin.

Erkan Laz ÖABT Matematik denemeleri gerçek sınav düzeninde hazırlandı; her sayfadaki QR ile soruların video çözümüne ulaşırsın.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları).