İçeriğe geç

ÖABT Matematik Topoloji rehberi: açık-kapalı küme, kapanış ve metrik uzaylar

ÖABT Matematik topoloji: topoloji aksiyomları, açık ve kapalı küme, iç, kapanış, sınır, yığılma noktası, metrik uzay ve tıkızlık; çözümlü örneklerle.

Topoloji soruları tanım sorusudur: “kapanış”, “iç” ya da “yığılma noktası” kavramını tam doğru hatırlarsan hesap neredeyse yoktur. Hata genelde ayrık bir noktayı unutmaktan ya da iç ile kapanışı karıştırmaktan gelir. Konu, limit ve süreklilikle iç içe olduğu için Analiz başlığıyla birlikte çalışılır; temel kavramlar için Analiz rehberine bakabilirsin.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: topoloji ve metrik uzaylar Analiz başlığıyla birlikte çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te de Analiz %36'dır (~18 soru).

1. Topoloji ve açık-kapalı küme

  • Topoloji: X kümesinin alt kümelerinden oluşan τ ailesi; ∅ ve X’i içerir, keyfî birleşime ve sonlu kesişime kapalıdır. τ’nun elemanları açık kümelerdir.
  • Kapalı küme: Tümleyeni açık olan küme. ∅ ve X hem açık hem kapalıdır.
  • Uç topolojiler: Ayrık topolojide her küme açık; en kaba (indiskret) topolojide yalnız ∅ ve X açıktır.

2. İç, kapanış, sınır, yığılma noktası

  • İç (A°): A’nın içindeki en büyük açık küme.
  • Kapanış (Ā): A’yı içeren en küçük kapalı küme; Ā = A ∪ A′ (A′: yığılma noktaları).
  • Sınır: ∂A = Ā \ A°.
  • Yığılma noktası: Her komşuluğu A’dan kendisi dışında bir nokta içeren nokta. Ayrık nokta yığılma noktası değildir ama kapanışa aittir.

Örnek 1. Reel sayılarda alışılmış topolojide A = (0, 1] ∪ {2} kümesinin kapanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (0, 1] ∪ {2}
  2. [0, 1]
  3. [0, 2]
  4. (0, 1)
  5. [0, 1] ∪ {2}
Çözümü göster
  1. Yığılma noktalarıA′ = [0, 1]; 0 eklenir, 2 ayrık nokta olduğu için yığılma noktası değildir
  2. KapanışĀ = A ∪ A′ = [0, 1] ∪ {2}
  3. Karşılaştırİç: A° = (0, 1); sınır: ∂A = {0, 1, 2}

Cevap: E. Tipik hatalar: ayrık nokta 2’yi atmak (B), aradaki boşluğu doldurmak (C), iç ile karıştırmak (D).

A012Ā012
Örnek 1: Kapanışa 0 noktası katılır; ayrık nokta 2 kapanışta kalır.

Örnek 2. X = {a, b, c} kümesinde τ = {∅, X, {a}, {a, b}} topolojisi veriliyor. {b} kümesinin kapanışı nedir?

  1. {b}
  2. {b, c}
  3. {a, b}
  4. X
  5. {c}
Çözümü göster
  1. Kapalı kümelerAçıkların tümleyenleri: X, ∅, {b, c}, {c}
  2. b'yi içerenlerX ve {b, c}
  3. En küçüğü{b} kümesinin kapanışı {b, c}

Cevap: B. Tipik hatalar: {b}’yi kapalı sanmak (A), b’yi içeren açık kümeyi almak (C), kapanışı her zaman X sanmak (D).

3. Metrik uzaylar ve tıkızlık

  • Metrik: d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, simetri ve üçgen eşitsizliği. Açık yuvarlar topolojiyi üretir.
  • Heine–Borel: ℝⁿ’de bir küme tıkızdır ⇔ kapalı ve sınırlıdır. [0, 1] tıkız, (0, 1] ve ℝ tıkız değil.
  • Bağlantılılık: ℝ’de bağlantılı kümeler tam olarak aralıklardır; (0, 1] ∪ {2} bağlantılı değildir.
Sık hata Doğrusu
Ayrık nokta kapanışta yoktur Kapanışa aittir, yalnız yığılma noktası değildir
Açık olmayan küme kapalıdır Bir küme ne açık ne kapalı olabilir: [0, 1)
Sınırlı her küme tıkızdır ℝⁿ’de kapalı ve sınırlı olmalı

Çalışma önerisi

Sonlu kümelerde verilen topolojilerde önce tüm kapalı kümeleri listele; kapanış ve iç soruları bu listeden doğrudan okunur. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin. Yakınsaklık tekrarı için Diziler ve Seriler rehberi işine yarar.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.

Ücretsiz deneSeti incele →