İçeriğe geç

ÖABT Matematik çok değişkenli fonksiyonlar: kısmi türev, ekstremum ve iki katlı integral

ÖABT Matematik çok değişkenli fonksiyonlar: kısmi türev, zincir kuralı, yerel ekstremum testi ve iki katlı integralde sınır belirleme; çözümlü örneklerle.

Çok değişkenli fonksiyon soruları, tek değişkenli türev ve integral bilgisini “bir değişkeni sabit tutarak” uygulamaktan ibarettir. Asıl zorluk iki katlı integralde sınırları doğru yazmaktır; bu yüzden bölgeyi çizmek çoğu zaman sorunun yarısıdır. Konu matematiksel olarak Analiz başlığı altında çalışılır.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: çok değişkenli fonksiyonlar Analiz başlığı altında çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te Analiz %36, Cebir %24'tür.

1. Kısmi türev

  • Tanım: fx, y sabit tutularak x’e göre türevdir; fy de x sabit tutularak alınır.
  • Karışık türevler: Sürekli ikinci türevler için fxy = fyx (Clairaut).
  • Zincir kuralı: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) ise dz/dt = fx·x′ + fy·y′.

Örnek 1. f(x, y) = x²y + exy için fy(1, 0) kaçtır?

  1. 1
  2. 2
  3. 0
  4. e
  5. 3
Çözümü göster
  1. Kısmi türevfy = x² + x·exy (x sabit)
  2. Yerine koyfy(1, 0) = 1 + 1·e⁰ = 2

Cevap: B. Tipik hatalar: exy’nin türevini 0 sanıp yalnız x² = 1 bulmak (A), fy yerine fx(1, 0) = 0 hesaplamak (C).

2. Yerel ekstremum

  • Kritik nokta: fx = fy = 0.
  • İkinci türev testi: D = fxxfyy − (fxy)². D > 0 ve fxx > 0 ise yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 ise yerel maksimum, D < 0 ise eyer noktası, D = 0 ise test sonuç vermez.

3. İki katlı integral

  • Fubini: Dikdörtgen bölgede integral sırası değiştirilebilir.
  • Genel bölge: Önce bölgeyi çiz; iç integralin sınırları dış değişkene bağlı olur.

Örnek 2. ∫01 ∫0x 6xy dy dx integralinin değeri kaçtır?

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 3/4
  4. 3/2
  5. 1
Çözümü göster
  1. İç integral∫0x 6xy dy = 3xy² |0x = 3x³
  2. Dış integral∫01 3x³ dx = 3/4

Cevap: C. Tipik hatalar: iç sınırı x yerine 1 almak (D, 3/2), y²/2’deki ½’yi unutmak (D) ya da iki kez kullanmak.

y = xx = 11xy
Örnek 2: bölge 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1 üçgenidir; her x için y, 0’dan x’e kadar taranır (kesikli çizgiler).
Sık hata Doğrusu
fy alırken x’in türevini de almak x sabittir, türevi alınmaz
D = 0 ise eyer noktası D = 0’da test sonuç vermez
İç integralin sınırı sabit sayı Bölgeye göre dış değişkene bağlı olabilir

Çalışma önerisi

Her iki katlı integral sorusunda önce 10 saniyelik bir bölge çizimi yap; integral sırasını değiştirmen gereken soruları ayrı bir listede topla. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.