İçeriğe geç

ÖABT Matematik Diferansiyel Denklemler rehberi: ayrılabilir, doğrusal ve sabit katsayılı denklemler

ÖABT Matematik diferansiyel denklemler: ayrılabilir, birinci mertebe doğrusal ve sabit katsayılı ikinci mertebe denklemler; çözümlü örneklerle.

Diferansiyel denklem soruları çoğu zaman tanıdık bir kalıba indirgenir: denklemin türünü doğru tanıyan aday, çözümü birkaç satırda bitirir. Konu türev ve integrale dayanır ve matematiksel olarak Analiz başlığı altında çalışılır; integral teknikleri için Analiz rehberine bakabilirsin.

Lise Matematik ÖABT konu ağırlıkları: diferansiyel denklemler Analiz başlığı altında çalışılır (50 soru üzerinden yaklaşık soru sayısı)
Analiz%36 · ~18
Cebir%24 · ~12
Geometri%20 · ~10
Uygulamalı Matematik%20 · ~10

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1. İlköğretim Matematik'te Analiz %36, Cebir %24'tür.

1. Birinci mertebe denklemler

  • Değişkenlerine ayrılabilir: y′ = g(x)·h(y) ⇒ ∫dy/h(y) = ∫g(x)dx.
  • Doğrusal: y′ + P(x)y = Q(x); integral çarpanı μ = e∫P dx, çözüm (μy)′ = μQ.
  • Başlangıç koşulu: Genel çözümdeki sabit, y(x₀) = y₀ ile bulunur; sabiti en sonda değil, integralden hemen sonra yaz.

Örnek 1. y′ = 2xy, y(0) = 3 başlangıç değer probleminin çözümü için y(1) kaçtır?

  1. 3e²
  2. e
  3. 3e
  4. 2 + e
  5. 6e
Çözümü göster
  1. Ayırdy/y = 2x dx
  2. İntegralln|y| = x² + C ⇒ y = K·ex²
  3. Koşuly(0) = K = 3 ⇒ y = 3ex²
  4. Değery(1) = 3e

Cevap: C. Tipik hatalar: sabiti toplamsal bırakıp y = ex² + 2 yazmak (D), ln|y| = 2x² sanmak (A).

2. Sabit katsayılı ikinci mertebe denklemler

  • Karakteristik denklem: ay″ + by′ + cy = 0 için ar² + br + c = 0.
  • Farklı reel kökler r₁, r₂: y = C₁er₁x + C₂er₂x.
  • Çift kök r: y = (C₁ + C₂x)erx.
  • Karmaşık kökler α ± βi: y = eαx(C₁cos βx + C₂sin βx).
  1. 1Karakteristik denklemi yaz
  2. 2Kökleri bul ve kök türüne göre genel çözümü seç
  3. 3y(0) ve y′(0) ile iki bilinmeyenli sistemi kur
  4. 4Sabitleri bul, çözümü x = 0'da kontrol et

Örnek 2. y″ − 5y′ + 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 4 probleminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 3e2x − 2e3x
  2. 2e2x − e3x
  3. e2x + 3e3x
  4. −e2x + 2e3x
  5. −2e2x + 3e3x
Çözümü göster
  1. Karakteristikr² − 5r + 6 = 0 ⇒ r = 2, 3
  2. Genel çözümy = Ae2x + Be3x
  3. KoşullarA + B = 1, 2A + 3B = 4
  4. SabitlerB = 2, A = −1 ⇒ y = −e2x + 2e3x

Cevap: D. Tipik hatalar: A ile B’yi yer değiştirmek (B), y′(0) koşulunda türevin katsayılarını unutmak (A, E).

y(0) = 1y = −e²ˣ + 2e³ˣ
Örnek 2: çözüm eğrisi (0, 1) noktasından 4 eğimle geçer; büyük x için 2e3x terimi baskındır.
Sık hata Doğrusu
ln y
Çift kökte y = C₁erx + C₂erx y = (C₁ + C₂x)erx
Karmaşık kökte e(α+βi)x bırakmak eαx(C₁cos βx + C₂sin βx)

Çalışma önerisi

Her denklem türü için bir “tanıma ipucu” kartı yaz (ayrılabilir mi, doğrusal mı, sabit katsayılı mı); karışık 20 soruda önce yalnız türü işaretle, sonra çöz. Ücretsiz mini deneme ile kendini dene; netini puan hesaplama aracında görebilir, ÖABT Matematik denemelerimizde bu soru tiplerini gerçek sınav süresinde çözebilirsin.

Kaynak: ÖSYM, 2026-MEB-AGS Başvuru Kılavuzu, Tablo-1 (konu ağırlıkları). Örneklerin cevapları SymPy ile doğrulanmıştır.